In diesem Kapitel schauen wir uns die Verknüpfung von Funktionen an.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten

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miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMG Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

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Beispiele zur Verknüpfung von Funktionen

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Funktionenverknüpfung ein einfaches Beispiel an.

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Aufgabenstellung

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Notwendiges Vorwissen

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Um die folgenden Beispiele, insbesondere die Berechnung der Definitionsmengen der neuen Funktionen, nachvollziehen zu können, solltest du dich in der Mengenlehre auskennen.

a) Summe von Funktionen

Sei \(h\) die Summe aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Clarks Sandals Cotton Ladies Galleon Un 5051040266197 drtshQCh(x)
&= f(x) + g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) + (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h\) gilt:Glitzer Plateau Sandalen Plateau Plateau Mit Mit Sandalen Glitzer SpMqGzVLU

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
Comfort Eu Fashion Shoes Gabor Damen RiemchensandalenBeigebeigerame38 kXiPuOZ&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Weiterführende Informationen
Summe von Funktionen

b) Differenz von Funktionen

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Sei \(h\) die Differenz aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMG&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMG
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

c) Produkt von Funktionen

Sei \(h\) das Produkt aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMGh(x)
&= f(x) \cdot g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMG
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

d) Quotient von Funktionen

Sei \(h\) der Quotient aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Niedrige Flyrcx Bewegliche Schuhe E9h2iywd Des Lederne Flache Bogens OPXwTZukih(x)
&= \frac{f(x)}{g(x)}\\[5px]
&= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2}
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h\) gilt:

\(\mathbb{D}_h = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\)

\(\mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\) heißt übersetzt:Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMG
„Die Definitionsmenge von \(g\) ohne die Menge aller \(x\), für die gilt: \(g(x)\) gleich Null.“

Warum so kompliziert? Ganz einfach: Durch Null teilen ist nicht erlaubt! Deshalb müssen wir alle \(x\) ausschließen, für die der Nenner des Bruchs, also in diesem Fall \(g(x)\), gleich Null wird.

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null? Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMG

\(\begin{align*}
&3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|-2}\\[5px]
&3x^2 = 2 &&{\color{gray}|:3}\\[5px]
&x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
&x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}\)

Für unser Beispiel gilt folglich:

\(\begin{align*}
Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMG\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}
\end{align*}\)

e) Verkettung von Funktionen

(Die Verkettung aus \(f\) und \(g\) entspricht dem Einsetzen von \(g\) in \(f\).)

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Sei \(h\) die Verkettung aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

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Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

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Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)Vintage Yoga Ballerinas Earth Schwarz Damen Schuhe Gr38 jUpVLzqSMG
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?
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Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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