In diesem Kapitel schauen wir uns die Verknüpfung von Funktionen an.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten

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miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RA Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

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Beispiele zur Verknüpfung von Funktionen

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Funktionenverknüpfung ein einfaches Beispiel an.

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Aufgabenstellung

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Notwendiges Vorwissen

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Um die folgenden Beispiele, insbesondere die Berechnung der Definitionsmengen der neuen Funktionen, nachvollziehen zu können, solltest du dich in der Mengenlehre auskennen.

a) Summe von Funktionen

Sei \(h\) die Summe aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Handtasche Cognac Bernadette Hobo Bernadette Hobo Handtasche N0wnmv8h(x)
&= f(x) + g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) + (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h\) gilt:Sandale Wippe 201 Auf Webart Rote Kontrollbeleg Rnnj Schuh LMSVGzUqp

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
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\end{align*}\)

Weiterführende Informationen
Summe von Funktionen

b) Differenz von Funktionen

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Sei \(h\) die Differenz aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RA&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RA
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

c) Produkt von Funktionen

Sei \(h\) das Produkt aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RAh(x)
&= f(x) \cdot g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RA
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

d) Quotient von Funktionen

Sei \(h\) der Quotient aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Schwarz Sandalen Nf10384 Olowahu Eigenschaften Schuhe Schwarze Teva hdCQtsrxBh(x)
&= \frac{f(x)}{g(x)}\\[5px]
&= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2}
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h\) gilt:

\(\mathbb{D}_h = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\)

\(\mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\) heißt übersetzt:Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RA
„Die Definitionsmenge von \(g\) ohne die Menge aller \(x\), für die gilt: \(g(x)\) gleich Null.“

Warum so kompliziert? Ganz einfach: Durch Null teilen ist nicht erlaubt! Deshalb müssen wir alle \(x\) ausschließen, für die der Nenner des Bruchs, also in diesem Fall \(g(x)\), gleich Null wird.

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null? Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RA

\(\begin{align*}
&3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|-2}\\[5px]
&3x^2 = 2 &&{\color{gray}|:3}\\[5px]
&x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
&x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}\)

Für unser Beispiel gilt folglich:

\(\begin{align*}
Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RA\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}
\end{align*}\)

e) Verkettung von Funktionen

(Die Verkettung aus \(f\) und \(g\) entspricht dem Einsetzen von \(g\) in \(f\).)

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Sei \(h\) die Verkettung aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

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Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

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Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)Sandalen Schwarz Sihcimeod Damen Black Slingback 28305 oliver S 3qj4cL5RA
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

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Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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