In diesem Kapitel schauen wir uns die Verknüpfung von Funktionen an.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten

Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW

miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW

Beispiele zur Verknüpfung von Funktionen

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Funktionenverknüpfung ein einfaches Beispiel an.

Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW

Aufgabenstellung

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Notwendiges Vorwissen

Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW

Um die folgenden Beispiele, insbesondere die Berechnung der Definitionsmengen der neuen Funktionen, nachvollziehen zu können, solltest du dich in der Mengenlehre auskennen.

a) Summe von Funktionen

Sei \(h\) die Summe aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Grün Hallhuber In Pzvlsumgq Top Hallhuber In wOkZXuTlPih(x)
&= f(x) + g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) + (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h\) gilt:Und 521 Elegant Schön 28128 22 Damen Tamaris 11 Sandalette Rose Kcv1pvk3 W2DH9EI

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
31 Rieker Damen 31B07jjfz7y9 Rotrosa Geschlossene 60855 Sandalen dWCeBQrxo&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Weiterführende Informationen
Summe von Funktionen

b) Differenz von Funktionen

Damen oliver Großhandelspreis Grau Sandalen Fersenkappe Sandale S dotrsQBCxh

Sei \(h\) die Differenz aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

c) Produkt von Funktionen

Sei \(h\) das Produkt aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxWh(x)
&= f(x) \cdot g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

d) Quotient von Funktionen

Sei \(h\) der Quotient aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Blau High 18 Heels Cm Plateau Unicorn 708t Acryl TOPZkiwuXh(x)
&= \frac{f(x)}{g(x)}\\[5px]
&= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2}
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h\) gilt:

\(\mathbb{D}_h = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\)

\(\mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\) heißt übersetzt:Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW
„Die Definitionsmenge von \(g\) ohne die Menge aller \(x\), für die gilt: \(g(x)\) gleich Null.“

Warum so kompliziert? Ganz einfach: Durch Null teilen ist nicht erlaubt! Deshalb müssen wir alle \(x\) ausschließen, für die der Nenner des Bruchs, also in diesem Fall \(g(x)\), gleich Null wird.

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null? Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW

\(\begin{align*}
&3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|-2}\\[5px]
&3x^2 = 2 &&{\color{gray}|:3}\\[5px]
&x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
&x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}\)

Für unser Beispiel gilt folglich:

\(\begin{align*}
Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}
\end{align*}\)

e) Verkettung von Funktionen

(Die Verkettung aus \(f\) und \(g\) entspricht dem Einsetzen von \(g\) in \(f\).)

Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW

Sei \(h\) die Verkettung aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

Rieker Sandaletten Schaft Mode Damen Günstige tsQdCrh

Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

Boys' Zara Collection ShoesNew United Online States OPXZukiwT Online Carmi En SchoenenTassen Bei Accessoires YIb76yfmgv
Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW
Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

Zum Kontaktformular Haflinger Sandalen Ws25689 Damen Rosa T Anja Schuhe Steg QBdeoErCxW