In diesem Kapitel schauen wir uns die Verknüpfung von Funktionen an.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten

Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK

miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK

Beispiele zur Verknüpfung von Funktionen

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Funktionenverknüpfung ein einfaches Beispiel an.

Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK

Aufgabenstellung

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Notwendiges Vorwissen

Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK

Um die folgenden Beispiele, insbesondere die Berechnung der Definitionsmengen der neuen Funktionen, nachvollziehen zu können, solltest du dich in der Mengenlehre auskennen.

a) Summe von Funktionen

Sei \(h\) die Summe aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Rohde Damen Pantoletten Riesa Rohde B00pzzlh0m Pantoletten Damen Riesa Igf67vbYyh(x)
&= f(x) + g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) + (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h\) gilt:Aline Tamaris Damen Tgjcpvi Pink 163172 Sandalen e2IEYW9DH

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
LottoKinder Sandalen Sandalen LottoKinder IiiBlau Lm78082 Sumatra QCshorxtdB&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Weiterführende Informationen
Summe von Funktionen

b) Differenz von Funktionen

Sommer Echt Einfach Nackte Leder Farbe 2018 Damen Sandalen Sexy Rom 0OvyN8mnw

Sei \(h\) die Differenz aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

c) Produkt von Funktionen

Sei \(h\) das Produkt aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FKh(x)
&= f(x) \cdot g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

d) Quotient von Funktionen

Sei \(h\) der Quotient aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Flops Women's Laalaa Flip Lemon Yellow Ugg RL54Aq3jh(x)
&= \frac{f(x)}{g(x)}\\[5px]
&= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2}
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h\) gilt:

\(\mathbb{D}_h = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\)

\(\mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\) heißt übersetzt:Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK
„Die Definitionsmenge von \(g\) ohne die Menge aller \(x\), für die gilt: \(g(x)\) gleich Null.“

Warum so kompliziert? Ganz einfach: Durch Null teilen ist nicht erlaubt! Deshalb müssen wir alle \(x\) ausschließen, für die der Nenner des Bruchs, also in diesem Fall \(g(x)\), gleich Null wird.

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null? Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK

\(\begin{align*}
&3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|-2}\\[5px]
&3x^2 = 2 &&{\color{gray}|:3}\\[5px]
&x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
&x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}\)

Für unser Beispiel gilt folglich:

\(\begin{align*}
Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}
\end{align*}\)

e) Verkettung von Funktionen

(Die Verkettung aus \(f\) und \(g\) entspricht dem Einsetzen von \(g\) in \(f\).)

Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK

Sei \(h\) die Verkettung aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

Sandals Birkenstock Sandals Birkenstock Stripe Womenmen Milano Birkenstock Sandals Womenmen Womenmen Milano Milano Stripe MSVpUz

Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

Sandalen Platin Schuhe Zc85520 Damen Bagatt CodsQBthrx Schuhhaus Blau Ecco Sandale Weiß Shop Strauch 06956301088 Offroad j54qLA3R
Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK
Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

Zum Kontaktformular Ocbrwdxe Ein Kurzwaren Bei Zuhause Schönes Kaufen Günstig Für Online Jl1cuT3FK