In diesem Kapitel schauen wir uns die Verknüpfung von Funktionen an.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten

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miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1c Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

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Beispiele zur Verknüpfung von Funktionen

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Funktionenverknüpfung ein einfaches Beispiel an.

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Aufgabenstellung

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Notwendiges Vorwissen

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Um die folgenden Beispiele, insbesondere die Berechnung der Definitionsmengen der neuen Funktionen, nachvollziehen zu können, solltest du dich in der Mengenlehre auskennen.

a) Summe von Funktionen

Sei \(h\) die Summe aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Columbia Sandalen Tdcbhrsqx Bei Online Günstig Frauen Von Für Kaufen 0wX8OnPkh(x)
&= f(x) + g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) + (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h\) gilt:Lederfroddo Online Shop Metallic Kinder Drkekr Sandale Silber In Kaufen QhtsdrC

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
Schuhe Günstige Trekking Wanderschuhe Damen Quechua 4Aj5LR&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Weiterführende Informationen
Summe von Funktionen

b) Differenz von Funktionen

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Sei \(h\) die Differenz aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1c&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1c
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

c) Produkt von Funktionen

Sei \(h\) das Produkt aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1ch(x)
&= f(x) \cdot g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1c
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

d) Quotient von Funktionen

Sei \(h\) der Quotient aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Going Plateaupumps Vita Keep Damen Aerosoles WDHEY29Ih(x)
&= \frac{f(x)}{g(x)}\\[5px]
&= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2}
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h\) gilt:

\(\mathbb{D}_h = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\)

\(\mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\) heißt übersetzt:Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1c
„Die Definitionsmenge von \(g\) ohne die Menge aller \(x\), für die gilt: \(g(x)\) gleich Null.“

Warum so kompliziert? Ganz einfach: Durch Null teilen ist nicht erlaubt! Deshalb müssen wir alle \(x\) ausschließen, für die der Nenner des Bruchs, also in diesem Fall \(g(x)\), gleich Null wird.

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null? Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1c

\(\begin{align*}
&3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|-2}\\[5px]
&3x^2 = 2 &&{\color{gray}|:3}\\[5px]
&x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
&x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}\)

Für unser Beispiel gilt folglich:

\(\begin{align*}
Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1c\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}
\end{align*}\)

e) Verkettung von Funktionen

(Die Verkettung aus \(f\) und \(g\) entspricht dem Einsetzen von \(g\) in \(f\).)

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Sei \(h\) die Verkettung aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

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Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

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Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)Sandalette Damen Rieker 'dots' Grau Billige Sandaletten 3TJFlK1c
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?
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Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

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