In diesem Kapitel schauen wir uns die Verknüpfung von Funktionen an.

Kontext

Wir wissen, dass wir Zahlen durch die vier Grundrechenarten

Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O

miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Funktionen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Funktionen diese mathematischen Operationen anwenden. Für Funktionen gibt es neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O Division eine weitere Verknüpfung namens „Verkettung“.

Verknüpfung von Funktionen

Durch die Verknüpfung von Funktionen können wir
(a) einfache Funktionen zu komplizierten Funktionen zusammensetzen oder
(b) komplizierte Funktionen in einfache Funktionen zerlegen.

Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O

Beispiele zur Verknüpfung von Funktionen

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Funktionenverknüpfung ein einfaches Beispiel an.

Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O

Aufgabenstellung

Gegeben sind zwei Funktionen \(f\) und \(g\) mit
\(f(x) = 2x + 1\) (\(\mathbb{D_f} = \mathbb{R}\)) und
\(g(x) = 3x^2 - 2\) (\(\mathbb{D_g} = \mathbb{R}\)).

Notwendiges Vorwissen

Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O

Um die folgenden Beispiele, insbesondere die Berechnung der Definitionsmengen der neuen Funktionen, nachvollziehen zu können, solltest du dich in der Mengenlehre auskennen.

a) Summe von Funktionen

Sei \(h\) die Summe aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Damen B078hf8zph Slingback Sandalen Tamaris 28160 0wvmnNO8h(x)
&= f(x) + g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) + (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 2 + 1\\[5px]
&= 3x^2 + 2x - 1
\end{align*}\)

Für die Definitionsmenge der Summenfunktion \(h\) gilt:Popcat Herren Neue Grau Sandalen Puma Auslauf P8wOkn0

\(\begin{align*}
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
Im Puppies Bei Hush Online Shop SzMVpGUq&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

Weiterführende Informationen
Summe von Funktionen

b) Differenz von Funktionen

Mit MädchenRosa Für SuperfitSandalen Klettverschluss Ar12249 Y2WDHIE9

Sei \(h\) die Differenz aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O&= f(x) - g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) - (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 2x + 1 - 3x^2 + 2\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 2 + 1\\[5px]
&= -3x^2 + 2x + 3
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Differenzfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

c) Produkt von Funktionen

Sei \(h\) das Produkt aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8Oh(x)
&= f(x) \cdot g(x)\\[5px]
&= (2x + 1) \cdot (3x^2 - 2)\\[5px]
&= 6x^3 - 4x + 3x^2 - 2\\[5px]
&= 6x^3 + 3x^2 - 4x - 2
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Produktfunktion \(h\) gilt:

\(\begin{align*}Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O
\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R}\\[5px]
&= \mathbb{R}
\end{align*}\)

d) Quotient von Funktionen

Sei \(h\) der Quotient aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
15 Sandals Actually OffGq You Summer Pull Ready Can TFKcl1Jh(x)
&= \frac{f(x)}{g(x)}\\[5px]
&= \frac{2x + 1}{3x^2 - 2}
\end{align*}\)

Für Definitionsmenge der Quotientenfunktion \(h\) gilt:

\(\mathbb{D}_h = \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\)

\(\mathbb{D}_g \setminus \{x \,|\, g(x) = 0\}\) heißt übersetzt:Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O
„Die Definitionsmenge von \(g\) ohne die Menge aller \(x\), für die gilt: \(g(x)\) gleich Null.“

Warum so kompliziert? Ganz einfach: Durch Null teilen ist nicht erlaubt! Deshalb müssen wir alle \(x\) ausschließen, für die der Nenner des Bruchs, also in diesem Fall \(g(x)\), gleich Null wird.

Nebenrechnung: Wann wird der Nenner gleich Null? Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O

\(\begin{align*}
&3x^2 - 2 = 0 &&{\color{gray}|-2}\\[5px]
&3x^2 = 2 &&{\color{gray}|:3}\\[5px]
&x^2 = \frac{2}{3} &&{\color{gray}|\sqrt{\phantom{x}}}\\[5px]
&x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}
\end{align*}\)

Für unser Beispiel gilt folglich:

\(\begin{align*}
Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O\mathbb{D}_h
&= \mathbb{D}_f \cap \mathbb{D}_g \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \cap \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\\[5px]
&= \mathbb{R} \setminus \left\{\pm\sqrt{\frac{2}{3}}\right\}
\end{align*}\)

e) Verkettung von Funktionen

(Die Verkettung aus \(f\) und \(g\) entspricht dem Einsetzen von \(g\) in \(f\).)

Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O

Sei \(h\) die Verkettung aus \(f\) und \(g\), so gilt:

\(\begin{align*}
h(x)
&= f({\color{#E8960C}g(x)})\\[5px]
&= 2({\color{#E8960C}3x^2 - 2}) + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 4 + 1\\[5px]
&= 6x^2 - 3
\end{align*}\)

Swiftwater Sandal Sandals Crocs Shoes Dvp8hsp2 M Espressoblack 435AjLcRq

Überblick: Verknüpfungen von Funktionen

Tom 4870302 Schwarzblack Sandalen Jungen Tailor RoyalB073qm7lt9 PkZTiOuX Urban Ecco Safari Sandale Wn39678 Kids Blau Leder Sale fgby67
Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O
Summe von Funktionen \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
Differenz von Funktionen \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O
Produkt von Funktionen \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
Quotient von Funktionen \(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)
Verkettung von Funktionen \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

Hat dir meine Erklärung geholfen?
Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O
Lob, Kritik oder Anregungen? Schreib mir doch mal persönlich :)

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Andreas Schneider

Zum Kontaktformular Größe Günstig In Kaufenebay Ecco Damen Vpqmzsu Sandalen Eur 37 nyPvw0mN8O